Sesgo y varianza del estimador de la razón. con el problema de presición vs. sesgo que ya discutimos. t y. ˆt x

Transcripción

1 Sesgo y varianza del estimador de la razón A diferencia de los estimadores lineales vistos en las clases anteriores, los estimadores de la razón son usualmente sesgados. La varianza, comunmente más reducida, usualmente compensa la presencia del sesgo. La escogencia de uno u otro método tiene que ver con el problema de presición vs. sesgo que ya discutimos. Para el cáculo del sesgo y la varianza de los estimadores de la razón usamos la identidad ˆt yr t y = ˆt y t x t y = ˆt y ˆt x t x t y. ˆt x ˆt x Ya que E[ˆt y ] = t y y E[ˆt x ] = t x, Cov ˆB, ˆt x ) = E[ ˆBˆt x ] E[ ˆB]E[ˆt x ] = t y E[ ˆB]t x Así que E[ ˆB] = [t y Cov ˆB, ˆt x )]/t x y E[ ˆB B] = E[ˆt yr t y ]/t x = Cov ˆB, ˆt x )/t x = Cov ˆB, x)/ x U

2 Estimaciones prácticas del sesgo Hartley y Ross 954) probaron que Sesgo ˆB) CV x) V ˆB) /2 Por lo que el sesgo del estimador de la razón es pequeño en relación a su desviación estándar si CV x) es pequeño. Usando un argumento similar al que hemos usado en los casos anteriores, se demuestra que E[ ˆB B] N n x 2 BSx 2 RS x S y ) U siendo R el coeficiente de correlación entre x e y. De esta manera, el sesgo de ˆB es pequeño si: la muestra es grande la franción muestral n/n es grande CV x) es pequeño la correlación entre x e y es alta 2

3 Error cuadrático medio Por la misma identidad usada en el cáculo del sesgo E[ ˆB B) 2 ] = E = E = E ȳ B x x ȳ B x x U ȳ B x x U 2 x x U x 2 + ȳ B x x U 2 2 x x U x 2 2 x x U x El denominador de los primeros términos no es aleatorio, si despreciamos los términos de error relativo de orden superior a 2, el ECM puede aproximarse por E[ ˆB B) 2 ] E ȳ B x 2 x U = x 2 E[ȳ B x) 2 ] U Si consideramos los errores d i = y i Bx i, entonces d = ȳ B x, así que E[ȳ B x) 2 ] = V d) = N n N i= d 2 i N 3

4 Estimaciones prácticas del error cuadrático medio Como resultado de lo anterior, E[ ˆB B) 2 ] x 2 V d) U Una expresión alternativa, algebraicamente equivalente a la aproximación del sesgo que hemos visto, es x 2 U E[ȳ B x) 2 ] N n x 2 Sy 2 2BRS x S y + B 2 Sx), 2 U de donde podemos deducir que el ECM es pequeño cuando la muestra es grande la franción muestral n/n es grande las desviaciones sobre la línea y = Bx son pequeñas la correlación entre x e y es alta x U es grande 4

5 Estimación muestral del error cuadrático medio En la práctica se desconoce B y no podemos calcular los errores d i. En vez de estos usamos los residuos del ajuste lineal y = ˆBx e i = y i ˆBx i EL ECM de ˆB puede estimarse entonces por ECM[ ˆB] = n x 2 U ˆV d) = N n x 2 U i S e 2 i n Como siempre, si x U es desconocido, podemos sustituirlo por la media muestral. De las relaciones obtenidas, sigue ECM[ˆt yr ] = N 2 n N ) S 2 e n y ECM[ˆȳ r ] = Se 2 N n 5

6 Intervalos de confianza y tamaños muestrales Para tamaños muestrales grandes, Intervalos de confianza del 95% pueden construirse de la forma usual, por ejemplo: ˆB.96 SE[ ˆB], ˆB +.96 SE[ ˆB]), ˆt yr.96 SE[ˆt yr ], ˆt yr +.96 SE[ˆt yr ]), o ˆȳ r.96 SE[ˆȳ r ], ˆȳ r +.96 SE[ˆȳ r ]) y el tamaño muestral puede ser obtenido resolviendo ɛ =.96 SE[ ˆB] ɛ =.96 SE[ˆt yr ] y ɛ =.96 SE[ˆȳ r ] Las modificaciones para otros niveles de confianza siguen el procedimiento habitual. 6

7 Ventajas del estimador de la razón Note que si todas las observaciones x i son iguales i.e. S x = 0), entonces la media muestral y el estimador de la razón coinciden. Qué ganamos usando estimadores de la razón? Si usamos las aproximaciones obtenidas y la fórmula para la varianza de la media muestral, resulta MSE[ˆȳ r ] V ȳ) = N n N n S2 y 2BRS x S y + B 2 Sx 2 Sy) 2 ) n BS xbs x 2RS y ) Así que MSE[ˆȳ r ] MSEȳ) si y solo si R BS x 2S y = CV x) CV y) Es decir, si los coeficientes de variación son aproximadamente iguales y la correlación entre x e y es más grande que /2 entonces conviene usar estimadores de la razón. Qué podemos concluir? 7

8 Estimador de regresión Hemos visto que los estimadores de la razón son recomendables si los datos ajustan bien una línea recta que pasa por el origen. En ocasiones, los datos ajustan un línea recta que no pasa por el origen. Esto es, los datos lucen de manera que el modelo de regresión estándar y = B 0 + B x podría proveer un buen ajuste. Supongamos conocido x U, entonces el estimador de la regresión de ȳ U es la predicción del modelo, ajustado con la muestra aleatoria, cuando x = x U : ˆȳ reg = ˆB 0 + ˆB x U siendo ˆB 0 y ˆB los coeficientes de regresión por mínimos cuadrados. Para este modelo, ˆB = i S x i x)y i ȳ) i S x i x) 2 = rs y s x y ˆB 0 = ȳ ˆB x 8

9 Sesgo de estimación Como el estimador de la razón, el estimador de la regresión es sesgado. Sea B el estimador por mínimos cuadrados de la pendiente del modelo basado en los datos que ofrece toda la población: B = N i= x i x)y i ȳ U ) N i= x i x U ) 2 = RS y S x Aquí r y R son los coeficientes de correlación de la muestra y de la población respectivamente. Entonces, usando que ˆȳ reg = ˆB 0 + ˆB x U = ȳ + ˆB x U x) el sesgo de ˆȳ reg viene dado por E[ˆȳ reg ȳ U ] = E[ȳ ȳ U ] + E[ ˆB x U x)] = Cov ˆB, x) Al igual que con el estimador de la razón, el sesgo es pequeño en la medida que ˆB no dependa de la muestra. De hecho si ˆB = B para cualquier muestra, esto ocurre solamente cuando la recta de regresión pasa a través de todos los puntos x i, y i ), entonces el sesgo es cero. 9

10 Error cuadrático medio Al igual que con el estimador de la razón, para muestras aleatorias grandes el ECM del estimador del estimador de la regresión es aproximadamente la varianza del estimador. El sesgo es casi siempre despreciado en muestras grandes. El método usado para aproximar el ECM del estimador de la razón puede también usarse aquí. Sea d i = y i + B x i ȳ U + B x U ) Entonces ECMˆȳ reg ) = E[ȳ + ˆB x U x) ȳ U ) 2 ] V [ d] = Sd 2 N n Usando la relación B = RS x /S y, puede demostrarse que Sd 2 N n = n ) Sy 2 N n R2 ) De donde, el ECM es pequeño si: la muestra es grande o la franción muestral n/n es grande S y es pequeña o la correlación entre x e y es alta 0

11 Estimador de diferencias Es una caso especial de la estimación por regresión cuando se sabe de antemano que B =. Esto es común en auditorías de bases de datos no fraudulentas). En el esquema muestral más simple, el auditor realiza un escrutinio de una MAS de las cuentas para determinar el valor auditable - el valor que actualmente se posee - en orden de estimar el error en el total de las cuentas. Las cantidades consideradas son: y i = valor auditado para la cuenta i x i = valor contable para la cuenta i La diferencia media de las cuentas auditadas es ȳ x y la diferencia total estimada es ˆt y ˆt x = Nȳ x). El valor auditado estimado es ˆt ydif = t x + ˆt y ˆt x ).

12 Estimador de diferencias continuación) De nuevo, si definimos los residuos del modelos por e i = y i x i, la varianza de ˆt ydif es V [ˆt ydif ] = V [t x + ˆt y ˆt x )] = V [ˆt e ] donde ˆt e = N n e i i S Si la variabilidad de los residuos e i es pequeña en comparación a la de los valores auditados y i entonces el estimador es preciso. Es fácil ver que el estimador es insesgado. 2